선형칼만필터 (1)
in Kalman on Kalman
칼만필터는 예측단계와 추정(업데이트) 두개의 시퀀스를 가지는 필터이다.
- 대충 이전의 데이터를 가지고 다음에 들어올 입력값을 예상해놓는다 (예측단계)
- 입력이 들어왔다. (관측)
- 입력데이터와 예측데이터를 비교해서 최적의 출력값을 추정 (업데이트 단계)
엄밀히 말하자면 이 세가지이다.
그러니까, 지금까지의 디지털 필터와의 차이점이라면
저역통과, 고역통과, 밴드패스, 버터플라이 등등 여러가지 디지털 필터는
처음부터 어느 노이즈를 캔슬링 할것이라고 설계를 할 필요가 있다
칼만필터는 이에비해, 애초부터 오차의 추정을 컨셉으로 가져가고 캔슬링이라기보다는 오차를 최소화하는 방향으로 필터링을 실시한다.
인터넷에서보며 가끔 너무 어렵게 설명이 되어있는거 같아서 아주간단하게 설명해보겠다.
이 글에서는
- 대충 이전의 데이터를 가지고 다음에 들어올 입력값을 예상해놓는다 (예측단계)
예측단계에 대해서 이야기해 보겠다.
그래서 어디다 쓰는가
인터넷에서 살펴본 결과, 칼만필터가 사용되는곳은 대충 우겨넣으면 어디든지 들어가는 요즘 유행하는 라면으로 화장실 변기를 수리하는 정도의 .. 무튼 어디든지 사용할 수있다. 항공우주, 자율주행, 로봇, 제어 등등 왠만한 신호처리에서는 다 쓸 수 있다.
Space State Model (SSM) -뭔데그게
공간 상태 혹은 상태공간의 모델이라는 개념을 이해해야한다.
별거없고 사실, 물리에서 이야기하는 위치 속도 가속도를 성분으로하는 벡터의 개념이다.
결국 미분, 혹은 적분으로 관계가 이루어지는 벡터들을 한방에 계산하고 설명하고 수식을 압축시키기 위해서 이런 방법을 쓴다.
아주간단하게, 상태모델을 x = [r, v]라고 두어보자 r 은 거리고 v 는 속도라고 하자.
그리고 우리는 연속적인 세계에 살고 있지만, 디지털적인 세상에 사는 사람들을 위해서 샘플링 속도를 dt 라고 정의를 해 두자.
여기까지는 할 수있잖아
아주 쉬운 물리문제를 통한 상태공간의 예측
방금전 상황에서 dt 초 후의상황을 예측해보는 문제를 풀어보자
그러면 방금전 시간을 k-1 이라고 둘 필요가 있겠다.
x_{k-1} = [r_{k-1}, v_{k-1}]그러면 시간 $k$ 일때의 위치와 속도는 어떻게 예측을 할 수있을까?
일반적으로 사용되는 것은 Constant Velocity 모델이다.
무슨말이냐면 그사이 시간동안 시간은 변화하지 않고 같은 속도로 이동한다는 이야기이다.
수학적으로 행렬의 곱셉을 이용하면 같은 속도로 이동하는 물체를 \Phi 를 사용해서 한방에 나타낼 수있다.
\Phi_{k} = \begin{bmatrix}
1 & \Delta t\\
0 & 1
\end{bmatrix}그리스 문자가 나왔다고 쫄지말자
계속해서 dt 시간후의 x_k 는 다음과 같이 쓸 수있을것이다.
x_k = \Phi_{k-1}x_{k-1}어떤가? 선형대수를 배운사람이라면 위의 식은 계산 할 수있을것이다.
여기서 \Phi_{k-1} 처럼 k 에 대한 변수로 쓴것은 나도 잘 모르지만, k 에 대해서 좀더 디테일하게 모델화하는 사람이 있나보다.
그렇지만 여기에서는 \Phi 는 시간에 따라 변화하지 않는 일정한 모델이라고 취급하고 다음으로 넘어가겠다. 여기까지 하면 1/6을 한 셈이다.